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具有单一市场因素的宏观经济因素模型

(资料图)

我们将从一个包含单个已知因子（即市场指数）的简单示例开始。该模型为

其中显式因子ft为S＆P 500指数。我们将做一个简单的最小二乘（LS）回归来估计截距α和加载β：

大多数代码行用于准备数据，而不是执行因子建模。让我们开始准备数据：

现在我们准备进行因子模型拟合。LS拟合很容易在R中实现，如下所示：

或者，我们可以使用矩阵表示法进行拟合，我们定义和扩展因子。然后最小化

另外，我们可以简单地使用R为我们完成工作：

可视化协方差矩阵

有趣的是，可视化对数收益率[算术处理误差]以及残差Ψ的估计协方差矩阵。让我们从对数收益率的协方差矩阵开始：

我们可以观察到所有股票都是高度相关的，这是市场因素的影响。为了检查股票相关关系，我们绘制相关图：

有趣的是，我们可以观察到对Ψ执行的自动聚类可以正确识别股票的行业。

评估投资资金

在此示例中，我们将基于因子模型评估几种投资基金的绩效。我们将标准普尔500指数作为明确的市场因素，并假设无风险收益为零 rf = 0。特别是，我们考虑六种交易所买卖基金（ETF）：

我们首先加载数据：

现在我们可以计算所有ETF的alpha和beta：

现在可以进行一些观察：

SPY是S＆P 500的ETF，如预期的那样，其alpha值几乎为零，beta值几乎为1：α= 7.142211×10-5和 β= 1.0071423。

XIVH是具有高alpha值的ETF，计算出的alpha值是ETF中最高的（高1-2个数量级）：α= 1.810392×10-3。

SPHB是一种ETF，据推测具有很高的beta，而计算出的beta却是最高的，但不是最高的：β= 1.5613531。有趣的是，计算出的alpha为负，因此，该ETF应谨慎。

SPLV是降低波动性的ETF，实际上，计算得出的beta偏低：β= 0.6777072。

USMV还是降低波动性的ETF，实际上，计算出的beta是最低的：β= 0.6511671。

JKD显示出很好的折衷。

我们可以使用一些可视化：

我们还可以使用例如Sharpe比率，以更系统的比较不同的ETF。回顾一种资产和一个因素的因子模型

夏普比率如下：

假设。因此，基于Sharpe比率对不同资产进行排名的一种方法是根据α/β比率对它们进行排名：

可以看到：

就α/β而言，XIVH最佳（α最大），而SPHB最差（α负）。

就夏普比率（更确切地说，是信息比率，因为我们忽略了无风险利率）而言，JDK是最好的，其次是SPY。这证实了大多数投资基金的表现不超过市场的观点。

显然，无论以哪种衡量标准，SPHB都是最差的：负α，负β比率和Sharpe比率。

JDK之所以能够取得最佳性能，是因为它的alpha值很好（尽管不是最好的），而同时具有0.88的中等beta值。

XIVH和SPHB有大量不同的beta，因此在市场上具有极端敞口。

USMV在市场上的曝光率最小，有可接受的alpha值，并且其Sharpe比率接近第二和第三高的位置。

Fama-French三因子模型

该示例将说明使用标准普尔500指数中的九种股票的Fama-French三因子模型。让我们从加载数据开始：

现在我们在矩阵F中具有三个因子，并希望拟合模型，其中现在的载荷是一个beta矩阵：。我们可以做最小二乘拟合，最小化。更方便地，我们定义和扩展因子 。然后可以将LS公式写为最小化

另外，我们可以使用R完成：

统计因子模型

现在让我们考虑统计因子模型或隐式因子模型，其中因子和载荷均不可用。调用具有 K因子的模型 XT =α1T+ BFT + ET的主成分方法：

PCA：

样本均值：

矩阵：

样本协方差矩阵：

特征分解：

估计：

更新特征分解：

重复步骤2-3，直到收敛为止。

同样，我们可以使用R完成工作：

通过不同因子模型进行协方差矩阵估计的最终比较

我们最终将比较以下不同的因子模型：

样本协方差矩阵

宏观经济一因素模型

基本的三因素Fama-French模型

统计因素模型

我们在训练阶段估计模型，然后将估计的协方差矩阵与测试阶段的样本协方差矩阵进行比较。估计误差将根据PRIAL（平均损失提高百分比）进行评估：

加载训练和测试集：

现在让我们用训练数据估算不同的因子模型：

最后，让我们比较测试数据中的不同估计：

最终可以看到使用因子模型进行协方差矩阵估计会有所帮助。